01.01.05 – теория вероятностей и математическая статистика

Приказ Высшей аттестационной комиссии Республики Беларусь от 23 августа 2007 г. № 138
 

Общие методические рекомендации

Теория вероятностей и математическая статистика - область математической науки, занимающаяся построением и анализом математических моделей случайных явлений.

Цель данной программы - ознакомление аспирантов с современным уровнем развития теории вероятностей, математической статистики и теории случайных процессов, основными методами решения возникающих задач и возможными областями применения теоретического аппарата.

Достижение указанной цели предполагает решение следующих основных задач.

Изучение основных результатов теории вероятностей и теории случайных процессов и математических методов, при помощи которых эти результаты получены.

Овладение основными методами математической статистики, позволяющими оценивать параметры вероятностных моделей и статистически проверять гипотезы об анализируемых явлениях и процессах.

Получение навыков имитационного моделирования случайных явлений и процессов, встречающихся на практике.

Уровень знаний аспирантов, выполнивших данную программу, предполагает соответствие следующим требованиям. Аспиранты должны:

  • иметь чёткое представление о современном состоянии развития теории
  • вероятностей, математической статистики и теории случайных процессов; о уметь самостоятельно доказывать основные результаты;
  • владеть навыками применения статистических процедур оценивания параметров и проверки гипотез;
  • быть в состоянии применять полученные теоретические знания для получения новых теоретических результатов и их использования при решении практических задач.

Программа-минимум кандидатского экзамена соответствует паспорту специальности 01.01.05 «Теория вероятностей и математическая статистика», рассчитана на 120 часов и состоит из девяти разделов и списка литературы.

Содержание курса

1. Меры и их продолжение - 12 час.

Измеримые функции, интегрирование, сходимости. Плотности, теорема Радона-Никодима. Произведение пространств, теорема Фубини. Вероятностные пространства, случайные величины и математические ожидания. Корреляция и наилучшие приближения в R. Произведения пространств, независимость, вероятностные меры с заданными распределениями. Бесконечные произведения, теорема Колмогорова о согласованных распределениях [1, гл. 5-7; гл. 2, §§ 1-6].

2. Случайные величины и распределения в - 12 час.

Характеристические функции и преобразования Фурье, аналоги равенства Парсеваля для математических ожиданий. Теорема Бохнера-Хинчина. Слабая сходимость, непрерывность соответствия между распределениями вероятностей и характеристическими функциями. Центральная предельная теорема. Безгранично делимые распределения. Устойчивые законы распределения [2, гл. 15, 17, §§ 1-3], [5, гл. 1,§§ 7-8, гл. 4, §5], [6, гл. 3].

3. Случайные последовательности и распределения в -12 час.

Независимость, закон «нуля и единицы». Усиленный закон больших чисел.

Стационарность, теорема Биркгофа-Хинчина, эргодичность [6, гл. 4, 5; гл. 6, § 1-3].

4. Случайные функции и распределения в функциональных пространствах - 12 час.

Измеримость, непрерывность. Корреляционные функции. Гауссовские согласованные распределения, гауссовские процессы. Согласованные семейства переходных вероятностей и плотностей и их локальные характеристики (дифференциальные уравнения Колмогорова), марковские процессы. Процессы Пуассона, Леви. Понятие стационарности [4, гл. 1, 5; гл. 8, §§ 1-3], [5, гл. 2, § 2; гл. 6, §3], [6, гл. 2, §§9,13].

5. Зависимость в рамках заданного вероятностного пространства - 12 час.

Общее понятие независимости. Условные вероятности и условные математические ожидания. Марковская зависимость. Мартингалы [4, гл. 7, §§ 1-2], [5, гл. 4, §§ 3-4], [6, гл. 2, § 7; гл. 7, § 1; гл. 8].

6. Случайные процессы как кривые в пространствах RT - 12 час.

Интегрирование, стохастические меры и интегралы. Стохастические представления случайных процессов. Стационарные процессы: спектральное представление, линейные преобразования, задача прогнозирования [4, гл. 2-4], [5, гл. 5, §2-4; гл. 6, §4], [6, гл. 6, §§1-3].

7. Стохастические дифференциальные уравнения - 12 час.

Броуновское движение, недифференцируемость траекторий. Стохастические дифференциалы, формула Ито. Стохастические линейные дифференциальные уравнения. Задача фильтрации (схема Калмана-Бьюси) [4, гл. 12, §§ 1-2], [5, гл. 5, §§ 4-6], [6, гл.6, §§6, 7].

8. Элементы теории статистических оценок и проверки гипотез - 24 час.
Достаточные статистики, критерий факторизации. Полнота, экспоненциальные

семейства. Несмещенные оценки с минимальной дисперсией. Оценки наименьших квадратов. Оценки максимального правдоподобия. Байесовское оценивание. Доверительные интервалы. Статистическое оценивание ковариационной функции и спектральной плотности. Наиболее мощные критерии проверки гипотез, лемма Неймана-Пирсона. Последовательный анализ [3, гл. 1, §§ 1-7; гл. 2, §§ 11-14, 16-22, 24-26, 33, 34, 36, 39,40; гл. 3, §§ 41,42, 44,45, 49-51], [5, гл. 3], [6, гл. 6, §4].

9. Моделирование вероятностных процессов, обработка статистических данных
с использованием языков программирования - 12 час
.

Моделирование случайных величин, процессов и полей. Имитационное моделирование систем массового обслуживания. Современное программное обеспечение статистической обработки информации [7, гл. 1,2, §§1-2,4, 8].

Литература

  1. Колмогоров А.Н., Фомин СВ. Элементы теории функций и функционального анализа. М.: Наука, 1976.
  2. Феллер В. Введение в теорию вероятностей и ее приложения . Т. 2. М: Мир, 1984.
  3. Боровков А.А. Математическая статистика. - Новосибирск: Наука; Издательство Института математики, 1997.
  4. Вентцель А.Д. Курс теории случайных процессов. М.: Наука, 1975.
  5. Розанов Ю.А. Теория вероятностей, случайные процессы и математическая статистика. М.: Наука, 1987.
  6. Ширяев А.Н. Вероятность. В 2-х кн. - 3-е изд., перераб. и доп. - М.: МЦНМО, 2004.
  7. Гренандер У., Фрейбергер М. Краткий курс вычислительной вероятности и статистики. М.: Наука, 1978.