01.01.02 – дифференциальные уравнения, динамические системы и оптимальное управление

Приказ Высшей аттестационной комиссии Республики Беларусь от 24 сентября 2010 г. №200
 

Цель данной программы состоит в определении минимального объема теоретических сведений, необходимого для овладения основами современной теории дифференциальных уравнений и приобретения профессиональной эрудиции, достаточной для проведения самостоятельных научных исследований по профилю специальности.

Для достижения этой цели в программу включены основные факты теории дифференциальных уравнений, а также ряда разделов смежных математических дисциплин.

Экзаменуемый должен владеть основами общей, асимптотической, аналитической и качественной теории обыкновенных дифференциальных уравнений, иметь представление о теории уравнений Пфаффа, и уравнений с запаздывающим аргументом и теории динамических систем, знать основные факты теории простейших уравнений в частных производных. Кроме того, он должен владеть необходимыми для этого элементами функционального анализа, вариационного исчисления и теории оптимального управления.

1. Обыкновенные дифференциальные уравнения и динамические системы

  1. Теорема существования и единственности решения задачи Кош и для систем обыкновенных дифференциальных уравнений ([I], § 3, 21).
  2. Теоремы о непрерывной зависимости решения от начальных данных и параметров ([I], § 23).
  3. Линейные уравнения и системы с постоянными коэффициентами и специальными правыми частями ([I], § 7, 8, 10, 12, 14).
  4. Общая теория линейных уравнений и систем: область существования решения, многообразие решений, фундаментальная матрица, матрица Коши, формула Лиувилля - Остроградского, метод вариации произвольных постоянных ([I], § 17, 18).
  5. Автономные системы дифференциальных уравнений. Положения равновесия, предельные циклы. Классификация особых точек ([1], § 15, 16, 28).
  6. Характеристические показатели Ляпунова. Спектр характеристических показателей линейной однородной системы. Теория Флоке ([2], гл. III, § 1-3, 8, 15, 16, [3], § 1, п. 1.1- 1.2).
  7. Устойчивость по Ляпунову. Функции Ляпунова. Теорема Ляпунова об устойчивости по линейному приближению ([!], § 26).
  8. Линейные и квазилинейные уравнения в частных производных первого порядка, метод характеристик ([4], часть II, гл. I, §1).
  9. Вполне интегрируемые системы с многомерной независимой переменной (системы Пфаффа). Задача Коши. Условия полной разрешимости. Линейные уравнения ([5], гл. I, § 2, 3, гл. И, § 6).
  10. Уравнение с отклоняющимся аргументом, основные типы и простейшие свойства. ([6], гл. 3, §§ 3.1-3.5),
  11. Общее понятие динамической системы. Примеры динамических систем ([11], гл.5, дополнительная литература [15], гл. 3, 7).
  12. Динамические системы вход-состояние-выход ([14], раздел «Вводная часть»). 13.Управляемость и наблюдаемость линейных динамических систем ([14], ч. I, дополнительная литература [14], гл. 5).

2. Элементы функционального анализа, вариационного исчисления и теории оптимального управления

  1. Задачи вариационного исчисления. Функция Лагранжа (лагранжиан). Необходимые условия экстремума. Уравнения Эйлера-Лагранжа. ([4], часть I, гл. И; [7], гл. I).
  2. Задачи оптимального управления. Понятие о принципе максимума Понтрягина ([7], [12]).
  3. Метод динамического программирования [13].
  4. Интегральные уравнения Фредгольма и Вольтерра второго рода. Метод последовательных приближений. Теоремы Фредгольма ([8], гл.IV, § 17, 18).
  5. Интегральные уравнения с эрмитовым ядром; теорема Гильберта-Шмидта ([8], гл. IV, § 19-22).
  6. Обобщенные функции и их свойства. Свертка обобщенных функций. Обобщенные функции медленного роста; преобразование Фурье обобщенных функций медленного роста ([8], гл.И, § 5-9; гл.III, § 12).

3. Уравнения в частных производных

  1. Уравнения в частных производных типа Ковалевской. Аналитические решения. Теорема Ковалевской ([8], гл. I, § 4).
  2. Классификация и канонические формы линейных уравнений в частных производных второго порядка на плоскости. Характеристики уравнений. Задача Коши, краевые задачи, смешанные задачи. Понятие о некорректных задачах для уравнений в частных производных ([8], гл. I, § 3,4; [9], гл. I, § 1; [10], гл. IX, § 2-4, гл. X, § 1-4, гл. XXV, § 8).
  3. Уравнение Лапласа. Основные свойства гармонических функций: формула Грина, теорема о среднем, принцип максимума, теорема об устранимой особенности ([8], гл. V, § 24; [9], гл. IV, § 1-3; [10], гл. X, § б, гл. XI, § 1-8).
  4. Решение краевых задач для уравнения Лапласа методом потенциалов. Применение функции Грина к решению задачи Дирихле. Формула Пуассона для шара и круга ([8], гл. V, § 27, 28, 31; [9], гл. IV, § 4,5; [10], гл. XII, § 1-4, гл. XIII, § 1).
  5. Уравнение теплопроводности. Задача Коши и смешанные задачи для уравнения теплопроводности. Свойства решений: гладкость, принцип максимума, единственность, бесконечная скорость теплопередачи. Фундаментальное решение ([8], гл. I, § 4, гл. III, § 11, гл. VI, § 34; [9], гл. III, § 1,3; [10], гл. XX, § 1-4, гл. XXIII, § 4).
  6. Метод Фурье (разделения переменных) решения смешанной задачи для уравнения теплопроводности. Обоснование метода Фурье. ([8], гл. VI, § 32; [9], гл. III, § 2; [10], гл. XXII, § 1-3).
  7. Решение задачи Коши для уравнения теплопроводности. Формула Пуассона ([8], гл. III, § 16; [9], гл. III, § 1, гл. VI, § 1; [10], гл. XXIII, § 2,3).
  8. Уравнения гиперболического типа. Постановка основных краевых задач. Интеграл энергии, единственность решений. Конечная гладкость решений волнового уравнения. Фундаментальное решение ([8], гл. I, § 4; гл. III, § 11, 12, гл. VI, § 33; [9], гл. II, § 1,2; [10], гл. XXI, § 1-3).
  9. Решение смешанной задачи для волнового уравнения методом Фурье. Обоснование метода Фурье ([8], гл. VI, § 32; [9], гл. И, § 3; [10], гл. XXII, § 4-7).
  10. Решение задачи Коши для волнового уравнения. Формулы Даламбера, Пуассона, Кирхгофа. Распространение волн в пространстве, на плоскости и на прямой ([8], гл. III, § 13, 14; [9], гл. II, § 2, гл. V, § 1,2; [10], гл. XXI, § 5, гл. XXIV, § 1-7).
  11. Понятие об обобщенных и слабых решениях уравнений в частных производных ([4], часть I, гл. III; [8], гл. VI, § 33, 34; [10], гл. XVII, XX,  § 6, гл. XXI, § 6).
  12. Рекомендуемая литература

Основная

  1. Понтрягин Л.С. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М.: Наука, 1974.
  2. Демидович Б.П. Лекции по математической теории устойчивости. М.: Наука, 1967.
  3. Изобов Н.А. Введение в теорию показателей Ляпунова. Мн.: Б ГУ, 2006.
  4. Смирнов В.И. Курс высшей математики, t.IV, части I и И, М.: Наука, 1981.
  5. Гайшун И.В. Вполне разрешимые многомерные дифференциальные уравнения. Мн.: Наука и техника, 1983.
  6. Беллман Р., Кук К. Дифференциально-разностные уравнения. М.: Мир, 1967.
  7. Алексеев В.М., Тихомиров В.М., Фомин СВ., Оптимальное управление. М.: Наука, 1979.
  8. Владимиров B.C. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1978.
  9. Тихонов А.Н., Самарский А.А. Уравнения математической физики, М.: Наука, 1972.
  10. Ю.Михлин С.Г. Курс математической физики. М.: Наука, 1968.
  11. И.Немыцкий В.В., Степанов В.В. Качественная теория дифференциальных уравнений. М. Гостехиздат, 1949.
  12. Понтрягин Л.С. Болтянский В.Г., Гамкрелидзе Р.В., Мищенко Е.Ф. Математическаятеория оптимальных процессов. М.: Наука, 1983.
  13. Беллман Р. Динамическое программирование. М.: ИЛ, 1960.
    И.Калманн Р., Фалб П., Арбиб М. Очерки по математической теории систем. М:Наука, 1971.

Дополнительная

  1. Бибиков Ю.Н. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М.: Высшая школа. 1991.
  2. Бицадзе А. В. Уравнения математической физики, М.: Наука, 1976.
  3. Благодатских В.И. Введение в оптимальное управление. Линейная теория. М.: Высшая школа. 2001.
  4. Гайшун И.В. Линейные уравнения в полных производных. Мн.: Наука и техника. 1989.
  5. Годунов С.К. Уравнения математической физики. М.: 1971.
  6. Дубровин Б.А., Новиков СП., Фоменко А.Т. Современная геометрия. Методы и приложения. М.: Наука, 1986.
  7. Еругин Н.П. Книга для чтения по общему курсу дифференциальных уравнений. Мн.: Наука и техника. 1972.
  8. Ладыженская О.А. Краевые задачи математической физики. М.: Наука, 1973.
  9. Михайлов В.П. Дифференциальные уравнения в частных производных. М.: Наука, 1983.
  10. Ю.Михлин С.Г. Линейные уравнения в частных производных. М: Высшая школа. 1977.
  11. Петровский И.Г. Лекции по теории обыкновенных дифференциальных уравнений. М.: МГУ, 1984.
  12. Петровский И.Г. Лекции об уравнениях с частными производными. М.: Физматгиз, 1961.
  13. Хейл Дж. Теория функционально-дифференциальных уравнений. М. Мир. 1984.
  14. Воронов А.А. Устойчивость, управляемость, наблюдаемость. М: Наука, 1979.
  15. Биргоф Дж. Динамические системы. М.: ГИТЛ, 1941.
  16. Арнольд В.И. Дополнительные главы теории обыкновенных дифференциальных уравнений. М: Наука, 1978.